La interpolacion es una parte del Analisis Numerico que se encarga de obtener nuevos puntos a partir de un conjunto finito de los mismos.

Se utiliza, por ejemplo al hacer un experimento y obtener un conjunto discreto de medidas poder obtener una funcion “parecida” a la funcion que se oculta tras ese muestreo.

Otra aplicacion es la fotografia digital para poder ampliar una imagen, aproximando a partir de los pixeles conocidos, las propiedades esperadas de los que no conocemos.

Lagrange

Paso a enunciar el problema clasico de interpolacion o problema de Interpolacion de Lagrange:

Problema clasico de interpolacion

Para resolver este problema hay varias formas, yo voy a comentar 3 de ellas:

  • Formula de Lagrange
  • Formula de Newton
  • Interpolacion Mediante Splines

En esta entrada hablare de la Formula de Lagrange, las otras dos las dejo para posteriores entradas:

Formula de Lagrange:

En esta formula se utilizan unos polinomios conocidos como los polinomios de Lagrange y se definen como sigue:

polinomios lagrange

Estos polinomios tienen la caracteristica de que:

caracteristicas polinomios lagrange

A partir de estos polinomios se define la solucion al problema clasico de interpolacion de la siguiente manera:

formula de Lagrange

Con lo que en los puntos de interpolacion el valor es el medido, y en los demas es una aproximacion al mismo.

El error de aproximar f(x) mediante p(x) es el siguiente:

Error

Siendo:

Intervalo xe

 

Bueno, espero no haberos aburrido mucho, en la proxima os hablare de la Formula de Newton y de los Splines y asi sabreis que hace el ordenador cuando usais el photoshop, o mucho mejor The GIMP.

Fuentes:
wikipedia

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